Álgebra Lineal – Gauss–Jordan (Ejercicios 1 a 4)
Resolución paso a paso con Gauss–Jordan de los cuatro primeros ejercicios del taller. Se muestran matrices aumentadas, operaciones por filas y soluciones.
Gauss–Jordan (3×3)
Sistema
\[ \begin{cases} x+2y+3z=9\\ 2x-y+z=8\\ 3x-z=3 \end{cases} \]
Matriz aumentada
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&3&9\\ 2&-1&1&8\\ 3&0&-1&3 \end{array} \right] \]
Pasos (operaciones por filas)
- \(F_2\leftarrow F_2-2F_1,\; F_3\leftarrow F_3-3F_1\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&3&9\\ 0&-5&-5&-10\\ 0&-6&-10&-24 \end{array} \right] \]
- \(F_2\leftarrow -\tfrac{1}{5}F_2 \Rightarrow [0\;1\;1\;2]\)
- \(F_3\leftarrow F_3+6F_2,\; F_1\leftarrow F_1-2F_2\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&5\\ 0&1&1&2\\ 0&0&-4&-12 \end{array} \right] \]
- \(F_3\leftarrow -\tfrac{1}{4}F_3=[0\;0\;1\;3]\)
- \(F_1\leftarrow F_1-F_3,\; F_2\leftarrow F_2-F_3\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\ 0&1&0&-1\\ 0&0&1&3 \end{array} \right] \]
Gauss–Jordan (3×3)
Sistema
\[ \begin{cases} x+y+2z=-1\\ x-2y+z=-5\\ 3x+y+z=3 \end{cases} \]
Matriz aumentada
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&-1\\ 1&-2&1&-5\\ 3&1&1&3 \end{array} \right] \]
Pasos
- \(F_2\leftarrow F_2-F_1,\; F_3\leftarrow F_3-3F_1\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&2&-1\\ 0&-3&-1&-4\\ 0&-2&-5&6 \end{array} \right] \]
- \(F_2\leftarrow -\tfrac{1}{3}F_2=[0\;1\;\tfrac13\;\tfrac43]\)
- \(F_3\leftarrow F_3+2F_2,\; F_1\leftarrow F_1-F_2\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&\tfrac53&-\tfrac73\\ 0&1&\tfrac13&\tfrac43\\ 0&0&-\tfrac{13}{3}&\tfrac{26}{3} \end{array} \right] \]
- \(F_3\leftarrow -\tfrac{3}{13}F_3=[0\;0\;1\;-2]\)
- \(F_1\leftarrow F_1-\tfrac53F_3,\; F_2\leftarrow F_2-\tfrac13F_3\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&-2 \end{array} \right] \]
Gauss–Jordan (3×3)
Sistema
\[ \begin{cases} 2x+y-2z=10\\ 3x+2y+2z=1\\ 5x+4y+3z=4 \end{cases} \]
Matriz aumentada
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&-2&10\\ 3&2& 2& 1\\ 5&4& 3& 4 \end{array} \right] \]
Pasos
- \(F_2\leftarrow F_2-\tfrac{3}{2}F_1,\; F_3\leftarrow F_3-\tfrac{5}{2}F_1\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&1&-2&10\\ 0&\tfrac12&5&-14\\ 0&\tfrac32&8&-21 \end{array} \right] \]
- \(F_2\leftarrow 2F_2=[0\;1\;10\;-28]\)
- \(F_3\leftarrow F_3-\tfrac{3}{2}F_2,\; F_1\leftarrow F_1-F_2\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 2&0&-12&38\\ 0&1&10&-28\\ 0&0&-7&21 \end{array} \right] \]
- \(F_3\leftarrow -\tfrac{1}{7}F_3=[0\;0\;1\;-3]\)
- \(F_1\leftarrow F_1+12F_3,\; F_2\leftarrow F_2-10F_3\)
- \(F_1\leftarrow \tfrac12 F_1\)
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1\\ 0&1&0&2\\ 0&0&1&-3 \end{array} \right] \]
Gauss–Jordan (4×4) – Sistema incompatible
Sistema
\[ \begin{cases} x + y + 2z - 5w = 3 \\ 2x + 5y - z - 9w = -3 \\ 2x + y - z + 3w = 11 \\ x - 3y + 2z + 7w = -5 \end{cases} \]
Esquema de pasos (resumen)
- Columna 1: \(F_2\leftarrow F_2-2F_1\), \(F_3\leftarrow F_3-2F_1\), \(F_4\leftarrow F_4-F_1\).
- Columna 2 (evitar fracciones): combinar con \(F_2\) para anular \(-1\) y \(-4\).
Se arriba a \[ \left[ \begin{array}{cccc|c} 1&1&2&-5&3\\ 0&3&-5&1&-9\\ 0&0&-20&40&6\\ 0&0&-20&40&-60 \end{array} \right] \] - \(F_4\leftarrow F_4-F_3 \Rightarrow [0\;0\;0\;0\;|\;-66]\).
