Modelo y Gauss–Jordan
Variables
$x$: boletas de $10.000,\; y$: boletas de $20.000,\; z$: boletas de $50.000$.
Modelo
\[ \begin{cases} x+y+z=260\\ 10000x+20000y+50000z=6000000\\ x=2z \end{cases} \]
Para evitar números grandes, dividimos la 2ª ecuación entre $10000$: \(\;x+2y+5z=600\).
Matriz aumentada
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&260\\ 1&2&5&600\\ 1&0&-2&0 \end{array} \right] \]
Gauss–Jordan (pasos)
- $F_2\leftarrow F_2 - F_1,\;\; F_3\leftarrow F_3 - F_1$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&260\\ 0&1&4&340\\ 0&-1&-3&-260 \end{array} \right] \]
- $F_3\leftarrow F_3 + F_2$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&260\\ 0&1&4&340\\ 0&0&1&80 \end{array} \right] \]
- $F_2\leftarrow F_2 - 4F_3,\;\; F_1\leftarrow F_1 - F_2 - F_3$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&160\\ 0&1&0&20\\ 0&0&1&80 \end{array} \right] \]
Modelo y Gauss–Jordan
Variables
$a$: seguidores del equipo A,\; $b$: seguidores del equipo B,\; $n$: no seguidores.
Datos del enunciado
- No hay seguidores de ambos equipos a la vez (conjuntos disjuntos).
- Por cada 13 seguidores de A o B, hay 3 no seguidores: \(13n=3(a+b)\).
- El estadio está lleno: \(a+b+n=72000\).
- Los seguidores de B superan en 6.500 a los de A: \(b-a=6500\).
Modelo equivalente (forma lineal)
\[ \begin{cases} a+b+n=72000\\ -3a-3b+13n=0\\ -a+b=6500 \end{cases} \]
Matriz aumentada
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&72000\\ -3&-3&13&0\\ -1&1&0&6500 \end{array} \right] \]
Gauss–Jordan (pasos)
- $F_2\leftarrow F_2+3F_1,\;\; F_3\leftarrow F_3+F_1$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&72000\\ 0&0&16&216000\\ 0&2&1&78500 \end{array} \right] \]
- $F_3\leftarrow \tfrac12 F_3=[\,0\;1\;\tfrac12\;|\;39250\,]$
- $F_1\leftarrow F_1 - F_3$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&\tfrac12&32750\\ 0&0&16&216000\\ 0&1&\tfrac12&39250 \end{array} \right] \]
- $F_2\leftarrow \tfrac{1}{16}F_2=[\,0\;0\;1\;|\;13500\,]$
- $F_1\leftarrow F_1 - \tfrac12 F_2,\;\; F_3\leftarrow F_3 - \tfrac12 F_2$
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&26000\\ 0&0&1&13500\\ 0&1&0&32500 \end{array} \right] \]
