Modelado y Gauss–Jordan paso a paso

Datos del enunciado

• Sedán: Ensamble 36 h, Pruebas 16 h, Acabado 16 h.
• Pick-Up: Ensamble 48 h, Pruebas 12 h, Acabado 14 h.
• SUV: Ensamble 42 h, Pruebas 20 h, Acabado 12 h.
• Disponibles (próximo mes): Ensamble 4 980 h, Pruebas 1 940 h, Acabado 1 690 h.

Variables

\(x\) = sedanes, \(y\) = pick-ups, \(z\) = SUVs a programar.

Modelo (sistema)

\[ \begin{cases} 36x + 48y + 42z = 4980 \quad &\text{(Ensamble)}\\[2pt] 16x + 12y + 20z = 1940 \quad &\text{(Pruebas)}\\[2pt] 16x + 14y + 12z = 1690 \quad &\text{(Acabado)} \end{cases} \]

Matriz aumentada

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 36&48&42&4980\\ 16&12&20&1940\\ 16&14&12&1690 \end{array} \right] \]

Gauss–Jordan (operaciones por filas)

1. Anular la columna 1 sin fracciones
   \(F_2 \leftarrow 9F_2 - 4F_1,\quad F_3 \leftarrow 9F_3 - 4F_1\)
   \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 36&48&42&4980\\ 0&-84&12&-2460\\ 0&-66&-60&-4710 \end{array} \right] \]
2. Simplificar filas
   \(F_2 \leftarrow -\tfrac{1}{12}F_2 = [\,0\;7\;-1\;|\;205\,]\) , \( \ \ F_3 \leftarrow -\tfrac{1}{6}F_3 = [\,0\;11\;10\;|\;785\,] \)
3. Anular la columna 2 en \(F_3\)
   \(F_3 \leftarrow 7F_3 - 11F_2\) \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 36&48&42&4980\\ 0&7&-1&205\\ 0&0&81&3240 \end{array} \right] \]
4. Normalizar pivote de la 3ª columna
   \(F_3 \leftarrow \tfrac{1}{81}F_3 = [\,0\;0\;1\;|\;40\,]\)
5. Anular arriba de ese pivote
   \(F_2 \leftarrow F_2 + F_3,\quad F_1 \leftarrow F_1 - 42F_3\) \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 36&48&0&3300\\ 0&7&0&245\\ 0&0&1&40 \end{array} \right] \]
6. Normalizar pivote de la 2ª columna
   \(F_2 \leftarrow \tfrac{1}{7}F_2 = [\,0\;1\;0\;|\;35\,]\)
7. Anular la 2ª columna en \(F_1\)
   \(F_1 \leftarrow F_1 - 48F_2 = [\,36\;0\;0\;|\;1620\,]\)
8. Normalizar pivote de la 1ª columna
   \(F_1 \leftarrow \tfrac{1}{36}F_1 = [\,1\;0\;0\;|\;45\,]\)

Matriz final

\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&45\\ 0&1&0&35\\ 0&0&1&40 \end{array} \right] \]